Esperienze con le bolle di sapone

a/4 - SCHEDA allegata all'esperienza 4

Albero minimo di Steiner

Si consideri un telaio con quattro viti poste nei vertici di un quadrato il cui lato è uguale ad una unità ( 1u) possiamo calcolare la misura dei percorsi possibili per congiungete tutti i punti. Le possibili configurazioni sono riportate in tabella:

Se immergiamo il telaio nella soluzione saponosa dopo una breve attesa, cioè quando si è raggiunto l'equilibrio, la configurazione che si vede è quella riportata in tabella per ultima ed è proprio quella che congiunge tutti i punti con un percorso che ha lunghezza minore ( la lunghezza totale dei segmenti e 2.73).

Se si considera il quadrato ABCD di lato AB=1u Si può calcolare il percorso fatto dalle lamine saponose per unire i punti A,B,C,D, cioè calcolare la somma dei segmenti AO OC, OP, PB, PD. Si può notare che i segmenti AO = OC = PB = PD perciò basta calcolare il valore di AO. Il triangolo AOC è isoscele ed ha l'angolo AOC =120° (perché quando tre lamine saponose si incontrano in un punto formano angoli di 120°) perciò

mentre

si vede che OP = AB - 2 OH ora sommando il tutto si trova che il valore del percorso delle lamine saponose è